Tight Projective 5-Designs and Exceptional Structures

Abstract

A t-design on a sphere or projective space is a finite subset such that the integral of any degree t polynomial over the sphere or projective space is equal to the average value of that polynomial evaluated at the points of the t-design. Tight t-designs are optimal in that they use the minimum possible number of points to achieve a particular value of t. Although t-designs are abundant, tight t-designs are rare structures in combinatorics that continue to resist a full classification. However, there are precisely four tight projective 5-designs: the vertices of a regular hexagon, the vertices of a regular icosahedron, the lines spanning the short vectors of the Leech lattice, and a set of points in the octonion projective plane forming a generalized hexagon finite geometry. This thesis explores the four tight projective 5-designs and their connections to various exceptional structures. The regular hexagon provides a starting point from which to recover Lie and Jordan theory. We explore an exceptional sequence of Lie algebras that terminates in the Lie algebra of the standard model of particle physics and provides a three generation representation of standard model fermions. The regular icosahedron is unique among tight t-designs, apart from most polygons on the unit circle, in that it has an irrational angle set. We provide proof of this fact by using Jordan algebras to generalize and correct certain previous attempts to prove that tight t-designs have rational angles. Finally, we explore the relationship between the two remaining tight 5-designs by examining octonion constructions of the Leech lattice and their octonion reflection symmetries. We introduce a common construction technique that yields the two remaining tight 5-designs and explore the role that octonion integers and exceptional Jordan algebra integers can play in this common construction.

Un t-design sur une sphère ou un espace projectif est un sous-ensemble fini tel que l’intégrale de tout polynôme de degré t sur la sphère ou l’espace projectif est égale à la valeur moyenne de ce polynôme évaluée en des points du t-design. Les t-designs serrés sont optimaux en ce sens qu’ils utilisent le plus petit nombre possible de points pour atteindre une valeur particulière de t. Bien que les t-designs soient abondants, les t-designs serrés sont des structures rares en combinatoire qui continuent à résister à une classification complète. Cependant, il existe précisément quatre 5-designs projectifs serrés: les sommets d’un hexagone régulier, les sommets d’un icosaèdre régulier, les lignes couvrant les vecteurs courts du treillis de Leech, et un ensemble de points dans le plan de Cayley formant une géométrie hexagonale finie généralisée. Cette thèse explore les quatre 5-designs projectives serrées et leurs liens avec diverses structures exceptionnelles. L’hexagone régulier constitue un point de départ pour retrouver les théories de Lie et de Jordan. Nous explorons une séquence exceptionnelle d’algèbres de Lie qui se termine par l’algèbre de Lie du modèle standard de la physique des particules et qui fournit une représentation à trois générations des fermions du modèle standard. L’icosaèdre régulier est unique parmi les t-designs serrés, hormis de la plupart des polygones sur le cercle unitaire, du fait qu’il possède un ensemble d’angles irrationnels. Nous apportons la preuve de ce fait en utilisant les algèbres de Jordan pour généraliser et corriger certaines tentatives antérieures de prouver que les t-designs serrés ont des angles rationnels. Enfin, nous explorons la relation entre les deux 5-designs serrés restantes en examinant les constructions par octonions du treillis de Leech et leurs symétries de réflexion d’octonions. Nous introduisons une technique de construction commune qui permet d’obtenir les deux 5-designs serrées restantes et nous explorons le rôle que les octonions entiers et les entiers exceptionnels de l’algèbre de Jordan peuvent jouer dans cette construction commune.