Renewal Theory: Simple and Elegant Derivations

Abstract

This thesis comprises two principal areas of research: new derivations of asymptotic results in renewal theory and the computation of the distribution for the number of renewals with bulk arrivals. A simple and elegant solution to determine the asymptotic results for the renewal density as well as for the first and second moments of the number of renewals for the discrete-time renewal process is presented. Using generating functions, the difficult-to-determine constant term in the second moment is also addressed. A similar process using Laplace transforms (LTs) is likewise employed to determine analogous results in continuous time. Further, the solution is extended to determine the asymptotic results for the first and second moments of the number of bulk renewals as well. The distribution of the number of renewals for both single and bulk arrivals in continuous time is calculated using an algorithm employed through MAPLE. These numerical results are acquired by considering rational as well as non-rational LTs and Padé-approximated LTs for the distributions of inter-renewal times. The asymptotic results derived in the first part of this thesis then help to validate the accuracy of these numerical results.

Cette thèse comprend deux domaines de recherche principaux: de nouvelles dérivations de résultats asymptotiques pour la théorie du renouvellement, et le calcul de la distribution pour le nombre de renouvellements pour les arrivées en groupes. Une solution simple et élégante pour déterminer les résultats asymptotiques pour la densité de renouvellement ainsi que pour les premiers et deuxièmes moments du nombre de renouvellements pour le processus de renouvellement en temps discret est présentée. En utilisant des fonctions génératrices, le terme constant qui est difficile à déterminer pour le second moment est également résolu. Un processus similaire utilisant les transformations de Laplace (LTs) est également utilisé pour déterminer des résultats similaires en temps continu. De plus, la solution est poursuivie afin de déterminer les résultats asymptotiques pour les premiers et deuxièmes moments du nombre de renouvellements en groupes. La distribution du nombre de renouvellements pour les arrivées simples et en groupes en temps continu est calculée en utilisant un algorithme fait avec MAPLE. Ces résultats numériques sont acquis en considérant les LTs rationnelles et non-rationnelles ainsi que les LTs de Padé pour les distributions des intervalles de renouvellement. Les résultats asymptotiques dérivés dans la première partie de cette thèse aident ensuite à valider le calcul d’incertitude de ces résultats numériques.