A Comparison of Lorentz Trajectories with the Guiding Center Approximation for High Energy Particles

Abstract

The Guiding Center (GC) approximation is a widely used technique for reducing the computational power needed to model the motion of charged particles in magnetic fields. It is well known that the accuracy of the GC approximation increases as the energy of plasma particles becomes smaller. However, the accuracy of the GC approximation is hard to assess in any specific case. To quantify GC accuracy, we compare the GC approximation with full Lorentz trajectories by employing numerical integration to solve differential Equations of motion in various magnetic fields. Specifically, we consider particle motion in a magnetic field with a constant gradient, in the equatorial plane of a magnetic dipole, in the equatorial plane of a non-axisymmetric field, which is illustrative of the stretched magnetotail in the terrestrial magnetosphere, and in a 3-dimensional magnetic dipole. The particle motion has analytic solutions in some of these magnetic fields, which we describe and use in our analysis. For the first two fields we discuss in detail various methods for selecting the initialization point for the GC approximation based solely on the particle's initial position and velocity vectors. We established multiple options for GC initialization and discuss the effects of the starting point on the accuracy of computing the drift velocity. We also discuss the possibility to replicate the magnetic moment, drift velocity or gyroperiod exactly. Since conservation of the magnetic moment, or 1st adiabatic invariant, is an essential assumption used in the GC approximation we discuss in detail the accuracy of this conservation. For axisymmetric, and non-axisymmetric magnetic fields, the conservation of the canonical angular momentum and its consequences is also discussed. To analyze the effect asymmetry has on these conserved quantities we simulate a plasma particle crossing the magnetotail for which three different models are considered. As a means of assessing the accuracy of the GC approximation, we consider an ensemble of particles that differ only in their initial phase. Such particles are indistinguishable in GC theory as the GC approximation collapses all phases onto the same GC trajectory. Thus, by analyzing the phase effects, we illustrate the limitations of the GC approximation thoroughly. Through this process we were able to quantify the secular error the GC approximation incurs every drift period. We find that in some cases, if the magnetic field is a smooth function of the coordinates, the errors in the GC approximation are exponentially small in the velocity of the particle. In other cases, if the magnetic field is represented by a piece-wise linear function, these errors are proportional to some power of the particle velocity. Lastly, we tested the GC theory assumption that the equatorial pitch angle is a conserved quantity. While this error decreases with particle velocity as well, there are noticeable variations in the pitch angle for consecutive crossings of the equatorial plane, even for relatively small velocities. We quantify the deviation of the equatorial pitch angle for a bounce period as a function of the velocity. The results obtained in this thesis can be used to estimate the accuracy of the Guiding Center approximation in a variety of magnetic fields.

L’approximation du centre guide (CG) est une technique très répandue pour réduire la puissance de calcul nécessaire à la modélisation du mouvement des particules dans des champs magnétiques. Le fait que l’exactitude de l’approximation du CG augmente quand l’énergie des particules du plasma devient plus petite est bien connu. Cependant, l’exactitude de l’approximation du CG est difficile à évaluer pour des cas spécifiques. De façon à quantifier l’exactitude du CG, nous comparons l’approximation du CG avec les trajectoires de Lorentz complètes en utilisant l’intégration numérique pour résoudre les équations différentielles du mouvement dans plusieurs types de champs magnétiques. Plus spécifiquement, nous considérons le mouvement des particules dans un champ magnétique avec un gradient constant, dans le plan équatorial d’un dipôle magnétique, dans le plan équatorial d’un champ non axisymétrique, ce qui est représentatif de l’étirement de la magnétoqueue, et pour un dipôle magnétique en trois dimensions. Les équations du mouvement des particules possèdent des solutions analytiques pour certain de ces champs que nous décrivons et utilisons dans notre analyse. Pour les deux premiers types de champs, nous examinons en détail plusieurs méthodes de sélection des points d’initialisation pour l’approximation du CG en nous basant uniquement sur la position et le vecteur vitesse initiaux de la particule. Nous avons établi plusieurs options cette initialisation et nous discutons les effets de ce point initial sur l’exactitude du calcul de la vitesse de dérive. Nous considérons aussi la possibilité de reproduire exactement le moment magnétique, la vitesse de dérive et la période de rotation. Puisque la conservation du moment magnétique, aussi appelé le premier invariant adiabatique, est une hypothèse essentielle utilisée pour l’approximation du CG, nous discutons en détail l’exactitude de sa conservation. Pour les champs magnétiques axisymétriques et non axisymétriques, la conversation du moment angulaire canonique et ses effets sont aussi discutés. Pour analyser l'effet de l'asymétrie sur ces quantités conservées, nous simulons une le mouvement d’une particule de plasma traversant la magnétoqueue pour laquelle trois modèles différents sont considérés. Afin d'évaluer l’exactitude de l'approximation CG, nous considérons un ensemble de particules qui ne diffèrent que par leur phase initiale. De telles particules sont indiscernables dans la théorie CG car l'approximation CG ramène toutes les phases sur la même trajectoire GC. Ainsi, en analysant les effets de phase, nous illustrons minutieusement les limites de l'approximation CG. Grâce à ce processus, nous avons pu quantifier l'erreur séculaire que l'approximation CG entraîne à chaque période de dérive. Nous constatons que dans certains cas, si le champ magnétique est une fonction lisse des coordonnées, les erreurs dans l'approximation CG sont exponentiellement petites pour la vitesse de la particule. Dans d'autres cas, si le champ magnétique est représenté par une fonction linéaire par morceaux, ces erreurs sont proportionnelles à une certaine puissance de la vitesse de la particule. Enfin, nous avons testé l'hypothèse de la théorie CG selon laquelle l'angle d’attaque équatorial est une quantité conservée. Bien que cette erreur diminue également avec la vitesse de la particule, il existe des variations notables de l'angle d’attaque pour des traversées consécutives du plan équatorial, même pour des vitesses relativement faibles. Nous quantifions la déviation de l'angle d’attaque équatorial pour une période de rebond en fonction de la vitesse. Les résultats obtenus dans cette thèse peuvent être utilisés pour estimer l’exactitude de l'approximation du centre guide dans une variété de champs magnétiques.